" Znay.ru - Томас Мак Математика рискового страхования. - М.: Олимп-Бизнес, 2005. - 432 с.

Томас Мак Математика рискового страхования. - М.: Олимп-Бизнес, 2005. - 432 с.

Источник: Знай страхование - Znay.ru -> Библиотека -> Книги
URL: http://www.znay.ru/library/books/0710.shtml
Дата: 30.03.16

Аннотация

Книга Томаса Мака содержит в основном все, что важно знать математику для работы в сфере рискового страхования. Математика рискового страхования представлена как самостоятельная прикладная область теории вероятностей и математической статистики (в особенности, теории максимума правдоподобия). Книга состоит из четырех примерно одинаковых по размеру частей: основы, исчисление тарифов, резервирование убытков и деление риска. Она предполагает определенное знакомство с теорией вероятностей и математической статистикой, но в целом выдержана на элементарном уровне. Читателю особенно пригодятся знания теории максимума правдоподобия, теории условного математического ожидания и метода наименьших квадратов (регрессионный анализ). В то же время изложение не ограничивается одной математикой, а расширено большим количеством комментариев. Это позволяет облегчить понимание и придает книге практический характер.

Она будет интересна математикам, занимающимся рисковым страхованием, а также всем, кто хочет развить основные и специальные знания, требуемые для решения практических задач математики рискового страхования.

Настольная книга актуария

Предлагаемая нашему вниманию книга известного немецкого математика Томаса Мака - по сути первая фундаментальная работа в области математики рискового страхования, публикуемая в России. Появление такой книги, несомненно, будет событием в среде российских актуариев.

Сегодня актуарное сообщество России не просто готово к восприятию сугубо практического учебника по математике рискового страхования - оно ощущает в нем необходимость. Рисковые виды страхования начинают играть в России все более значимую роль, требуя от актуария совершенствования навыков обработки и анализа страховой статистической информации. Несмотря на высокий уровень общего математического образования в России, для решения практических задач рисковой математики необходима глубокая специализированная подготовка. Базовые теоретические сведения, черпаемые из имеющихся в России источников по этой тематике, уже далеко не достаточны при достигнутом объеме и качестве страховой статистики. На этом фоне представляется очевидной потребность внимательно изучить и использовать опыт и традиции развитых страховых школ, в частности. Западной Европы.

Автор книги доктор Томас Мак - действующий актуарий и признанный авторитет западноевропейской актуарной науки. За свою более чем 30-лет-шою практическую деятельность он опубликовал ряд книг и статей по насущным проблемам страховой математики, постоянно выступает с лекциями в европейских университетах и на международных форумах страховых математиков.

Главные достоинства его книги "Математика рискового страхования" - систематизированное изложение на строгом математическом языке и в то же время ярко выраженный прикладной характер. Это сочетание отличает ее от большинства известных работ по теории риска и актуарных расчетов: труды высокого математического уровня, как правило, представляют больше научный, чем практический интерес, а приближенные к практике обычно популяризованы и ограничиваются элементарным математическим аппаратом. Тем более, немногие работы в этой области могут претендовать на широту рассматриваемого круга вопросов и целостность материала.

Книга Томаса Мака "Математика рискового страхования" может быть рекомендована не только в качестве учебника для профессиональной подготовки актуария в области рисковых видов, но и в качестве методического пособия действующим актуариям страховых компаний. Некоторые результаты, освещенные в книге (например, теоретико-вероятностное обоснование метода цепной лестницы), ранее не приводились в литературе но страховой математике - они получены автором впервые. Не имеющая аналогов даже в западной литературе, книга пользуется высокой популярностью в Европе и приобрела славу "настольной книги" актуария. Вышедшая в 1996 году она разошлась большим тиражом м в 2004 году появилось ее второе издание, планируется перевод нa английский язык.

Компания "Росгосстрах" гордится почетным правом перевода и содействия выпуску этой замечательной работы в России. Менеджмент компании, занимающей сегодня лидирующие позиции на российском страховом рынке, в числе приоритетных направлений своей деятельности видит поддержание и развитие актуарной науки. Елена Курносова, выступившая переводчиком фундаментального труда, не первый год работает о актуарной службе компании и прекрасно ориентируется в рынке актуарных услуг страны, проблемах актуарного сообщества. Стажировка за рубежом в одной из старейших и крупнейших компаний мира позволили ей сравнить российский страховой рынок с развитыми европейскими с точки зрения потребностей актуариев, возможностей и потенциальных преимуществ, которые предоставляет страховой компании активное использование результатов актуарной деятельности. Как и во многом другом, Россия вынуждена догонять развитые страны и в страховом бизнесе вообще, и в прикладной актуарной науке в частности, И этот процесс невозможен без издания подобных фундаментальных трудов коллег с развитых рынков, в свое время испытывавших абсолютно те же проблемы при решении подобных задач.

Стоит отметить, что проявленная ведущим сотрудником Актуарного Центра инициатива перевода и издания в России популярного немецкого учебника по рисковой математике была активно поддержана руководством компании. Изданием книги "Математика рискового страхования" на русском языке "Росгосстрах" надеется способствовать дальнейшему становлению цивилизованного страхового рынка в России, и это лишь один из многих шагов крупнейшей страховой системы страны в данном направлении.

Геннадий Гальперин

Исполнительный директор

ОАО "Росгосстрах"

Москва, январь 2005 г.

Об авторе

Доктор Томас Мак выпускник математического факультета Мюнхенского университета им, Людвига Максимилиана, докторскую диссертацию защитил в Мангеймскому университете. С 1974 года работает актуарием в Мюнхенском перестраховочном обществе в различных областях страхования не-жизни, а с 1993 года занимает должность главного актуария в области не-жизни. Является одним из руководителей немецкой ASTIN-группы и членом международного ASTIN-комитета, а также почетным членом Лондонского института актуариев и членом-корреспондентом Швейцарского общества актуариев. Читает лекции по математике рискового страхования в двух Мюнхенских университетах. Имеет многочисленные публикации по страховой математике, преимущественно в "ASTIN-Bulletirj" и "Insurance; Mathematics & Economics". Две из его работ удостоены премий Американского общества актуариев.

Вступительное слово

Страховой бизнес предполагает постоянный комплексный анализ принимаемых на страхование рисков. Только грамотное применение специальных средств и инструментов анализа рисков позволяет гарантировать клиенту защиту и выживать в условиях конкуренции.

Доктор Томас Мак занимает должность главного актуария в Мюнхенском перестраховочном обществе и широко известен за пределами компании благодаря споим многочисленным публикациям. В настоящей книге он обобщает и систематизирует результаты, достигнутые в математике рискового страхования, и закрывает многие из имеющихся пробелов. Книга Томаса Мака "Математика рискового страхования? - надежное научное и практическое руководство для широкого круга заинтересованных лиц.

Мюнхенское перестраховочное общество всегда стремилось содействовать развитию теории и практики страхования и перестрахования полезными публикациями. Издание настоящей книги подтверждает это в очередной раз. Мы убеждены, что "Математика рискового страховании" будет хорошо принята всеми, кто ждет от учебника не только теоретических сведений, но и конкретной поддержки в решении практических задач страховой математики.

Ханс-Юрген Шинцлер.

Мюнхенское перестраховочное общество,

Мюнхен, сентябрь 1996 г..

Предисловие

Разрабатывая совместно с профессором Хельтеном (в 1959 году) программу первого экзамена по математике рискового страхования в Немецком обществе страховых математиков, я столкнулся с проблемой отсутствия учебника, необходимого для подготовки участников и содержащего в той или иной мере все, что важно знать математику для работы в сфере рискового страхования. В существовавших учебниках по теории риска либо совсем не рассматривались многие важные практические задачи, либо им уделялось недостаточное внимание. В связи с этим и под влиянием профессора Хельтена я решил попытаться сам написать такой учебник.

Первые наброски отдельных глав возникли еще в 1989 году, и тогда я не ожидал, что приведение текста к окончательному виду займет целых 6 лет. Принимая в расчет интересную работу в Мюнхенском перестраховочном обществе (позволившую в реальности соприкоснуться со всеми обсуждаемыми в книге задачами), а также большую семью, я осознавал невозможность быстрой реализации моего проекта. Но основная причина столь долгой работы над книгой заключалась в другом.

Я не намеревался издавать сборник отдельных методов, а хотел представить математику рискового страхования как единое целое. В процессе работы над книгой я сталкивался с многочисленными пробелами и неясностями, которые предстояло восполнить и прояснить. Это потребовало дополнительного времени. Некоторые полученные результаты я сначала публиковал в специальной литературе, что, разумеется, также занимало время. Новый импульс мне дало основание Немецкого общества актуариев, вступление в которое предусматривало сдачу экзамена по математике рискового страхования.

В настоящей книге, на мой взгляд, достигнуты обе поставленные цели: во-первых, развить основные и специальные знания, требуемые для решения практических задач математики рискового страхования, и во-вторых, представить математику рискового страхования как самостоятельную прикладную область теории вероятностей и математической статистики (в особенности, теории максимума правдоподобия). Книга состоит из четырех примерно одинаковых по размеру частей: основы, исчисление тарифов, резервирование, деление риска. Темы, подробно освещенные в имеющейся литературе (теория доверительности, распределение совокупного убытка), мною изложены кратко. Вопросы, по моему опыту, не имеющие большого практического значения (например, теория разорения), не затронуты вовсе. Подобная оценка значимости тем, конечно, субъективна. Все приводимые в тексте высказывания или утверждения, разумеется, тоже передают исключительно мое мнение, не обязательно совпадающее со взглядами Мюнхенского перестраховочного общества, Немецкого общества актуариев или Немецкого общества страховых математиков.

Книга предполагает знакомство с теорией вероятностей и математической статистикой, но в целом выдержана на элементарном уровне. Читателю особенно пригодятся знания теории максимума правдоподобия, теории условного математического ожидания и метода наименьших квадратов (регрессионный анализ). В то же время изложение не ограничивается одной математикой, а дополнено словесными комментариями. Это позволяет облегчить понимание и придает книге практический характер. Я охотно привел бы больше числовых примеров из практики, но в таком случае значительно увеличился бы объем текста. Надеюсь, этот недостаток, по крайней мере частично, компенсируется многочисленными ссылками на публикации о применении рассматриваемых методов.

Как автору мне бы очень хотелось, чтобы книга пробудила интерес к математике рискового страхования у многих математиков и тем самым способствовала дальнейшему развитию этой увлекательнейшей области.

Томас Мак Мюнхен, июнь 1996 г.

Предисловие автора к русскому изданию

После появления в 1997 году моей книги "Математика рискового страхования" в немецкоговорящей среде ко мне сразу стали поступать вопросы о перспективах перевода, например, на английский язык - интерес к практически ориентированному учебнику был высок во многих европейских странах. Зная, как много усилий требует одно только редактирование текста, я не был готов сам взяться за перевод - во всяком случае совместить его с моей обычной деятельностью в Мюнхенском перестраховочном обществе.

В 2001 году но чистой случайности состоялось мое знакомство с г-жой Еленой Курносовой, проходившей научную стажировку по актуарной тематике на математическом факультете Мюнхенского университета. Г-жа Курносова отлично говорила по-немецки и могла свободно читать мою книгу. Она попросила моего разрешения на перевод "Математики рискового страхования" на русский язык, выразив уверенность в востребованности подобного материала в России. Я с радостью воспринял это предложение - человек с математическим образованием, стажем работы в страховании и владеющий обоими языками виделся мне наилучшей кандидатурой переводчика моей книги.

Такова история возникновения российского издания, которое сейчас перед вами. Оно отличается от немецкого оригинала только наличием приложения с задачами, предлагаемыми мною начиная с 1997 года на письменных вступительных экзаменах в Немецкое общество актуариев. Некоторые задачи затрагивают материал, разбираемый на предшествующих экзамену семинарах и не освещенный в книге. Читателю в освоении этих тем помогут прилагаемые образцы решений.

Я был бы очень рад, если бы настоящая книга способствовала привлечению российских математиков к рисковому страхованию и тем стимулировала дальнейший расцвет теоретической и практической актуарной математики.

Томас Мак Мюнхен, декабрь 2004

Оглавление

Часть первая. ОСНОВЫ

1.1. Обзор; общие принципы построения моделей

1.2. Основные принципы страхования

1.2.1. Обзор

1.2.2. Коллективный баланс и технический страховой риск

1.2.3. Основные принципы расчета премий: рисковая надбавка

1.2.4. Влияние рисковой надбавки на политику формирования портфеля

1.2.5. Вывод

1.3. Индивидуальная модель для совокупного убытка риска и группы рисков

1.3.1. Постановка проблемы и обзор

1.3.2. Моделирование зависимости дисперсии от объема

1.3.3. Моделирование совокупного убытка риска и группы рисков с помощью гамма-распределения

1.3.4. Моделирование совокупного убытка риска и группы рисков с помощью обратного гауссовского распределения

1.3.5. Логнормальное распределение как модель для совокупного убытка группы рисков

1.3.6. Моделирование зависимости между математическим ожиданием и дисперсией нескольких групп рисков

1.3.7. Моделирование совокупного убытка группы рисков с помощью модифицированного распределения Пуассона

1.3.8. Вывод и таблица моделей распределения

1.4. Коллективная модель для числа убытков, размера убытка и совокупного убытка портфеля рисков.

1.4.1. Постановка проблемы и обзор

1.4.2. Моделирование числа убытков

1.4.3. Моделирование размера убытка в отдельном страховом случае и таблица моделей распределения .

А. Важные модели распределения

Б. Оценка параметров

1.4.4. Распределение совокупного убытка

1.4.5. Вывод

1.5. Вывод и дополнения

Часть вторая. ИСЧИСЛЕНИЕ ТАРИФОВ

2.1. Обзор

2.2. Построение классов значений фактора риска

2.2.1. Постановка проблемы и обзор

2.2.2. Агломеративный кластер-метод на основе критерия равенства математических ожиданий

2.2.3. Агломеративный кластер-метод с максимизацией функции правдоподобия

2.2.4. Метод смешанного распределения

2.2.5. Построение классов при наличии нескольких факторов риска

2.2.6. Вывод и указания к применению методов

2.3. Выбор тарифных факторов

2.3.1. Постановка проблемы и обзор

2.3.2. Схема пошагового отбора

2.3.3. Выбор тарифных факторов с помощью дисперсионного анализа

2.3.4. Выбор значений фактора с помощью дихотомических переменных

2.3.5. Выбор тарифных факторов с помощью метода отношения правдоподобий

2.3.6. Выбор тарифных факторов с помощью перекрестной параметризации при наличии наблюдений за один год

2.3.7. Выбор тарифных факторов при наличии наблюдений за одни год с помощью дополнительной информации

2.3.8. Вывод и указания к применению

2.4. Методы выравнивания при многократной классификации рисков

2.4.1. Постановка проблемы и обзор

2.4.2. Тарификация с помощью маргинальных средних

2.4.3. Метод Бейли-Саймона и метод маргинальных сумм

2.4.4. Метод на основе модифицированного распределения Пуассона и построение критерия согласия

2.4.5. Метод на основе гамма распределения и оценка точности потребной премии

2.4.6. Метод на основе логнормального распределения и метод наименьших квадратов

2.4.7. Метод на основе обратного гауссовского распределения и факторизация параметра формы при наличии наблюдений за несколько лет

2.4.8. Детализация методов при наличии информации о числе убытков

2.4.9. Вывод и унификация методов с помощью обобщенной линейной модели; указания к применению

2.5. Доверительные методы для моделирования сходства рисков и групп рисков

2.5.1. Постановка проблемы и обзор

2.5.2. Доверительная модель Пуассон-гамма и построение системы бонус-малус

2.5.3. Не зависящие от распределения доверительные методы

2.5.4. Доверительные модели Бюльмана и Бюльмана-Штрауба

2.5.5. Вывод и указания к применению

2.6. Вывод и замечания по проблеме больших убытков

Часть третья. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

3.1. Постановка проблемы и обзор.

3.1.1. Причины долгого развития убытка

3.1.2. Роль резерва позднего убытка

3.1.3. Суть математических методов

3.1.4. Треугольник развития

3.1.5. Виды данных: оплаченные или произошедшие убытки?

3.1.6. Значение выбора портфеля

3.1.7. Инфляция, мера объема, независимость лет событий

3.1.8. Значение и расчет точности оценки резерва

3.1.9. Обзор методов

3.2. Не зависящие от распределения методы

3.2.1. Обзор

3.2.2. Метод на основе независимости нормированных приращений убытка от года события

3.2.3. Доверительный метод по отношению к годам событий

3.2.4. Метод цепной лестницы

3.2.5. Чувствительность и точность метода цепной лестницы

3.2.6. Проверка предположений модели цепной лестницы и сокращение числа параметров

3.2.7. Проверка некоррелированности лет развития

3.2.8. Вывод и указания к применению.

3.3. Методы с перекрестной параметризацией

3.3.1. Введение и обзор

3.3.2. Вывод метода цепной лестницы из метода основанного на модифицированном распределении Пуассона

3.3.3. Метод на основе гамма-распределения

3.3.4. Резервирование с помощью метода наименьших квадратов

3.3.5. Метод на основе обратного гауссовского распределения

3.3.6. Вывод и указания к применению

3.4. Модификации предыдущих методов

3.4.1. Обзор

3.4.2. Отделение эффектов календарных лет,

3.4.3. Разделение числа убытков и размера убытка, лаг-распределение

3.4.4. Разделение IBNR- и IBNER-убытков

3.4.5. Метод на основе данных по отдельным убыткам

3.4.6. Вывод и указания к применению

3.5. Вывод

Часть четвертая. ДЕЛЕНИЕ РИСКА

4.1. Постановка проблемы, обзор, причины и формы

4.1.1. Постановка проблемы и обзор

4.1.2. Причины и формы деления риска между страховой компанией и страхователем

4.1.3. Причины и формы деления риска между страховщиком и перестраховщиком: перестрахование

4.2. Влияние деления риска на основные случайные величины

4.2.1. Постановка проблемы; пропорциональное деление риска.

4.2.2. Непропорциональное деление риска: число убытков

4.2.3. Непропорциональное деление риска: размер убытка

4.2.4. Непропорциональное деление риска: совокупный убыток

4.2.5. Эффект освобождения

4.2.6. Вывод

4.3. Исчисление премий при делении риска

4.3.1. Обзор

4.3.2. Исчисление премий в случае вычитаемой франшизы

4.3.3. Исчисление премий при перестраховании эксцедента убытка

4.3.4. Исчисление премий при годовой франшизе и перестраховании "Stop Loss"

4.3.5. Заключение и дополнения

4.4. Выбор формы и объема деления риска

4.4.1. Постановка проблемы и обзор

4.4.2. Модели оценки привлекательности деления риска

4.4.3. Односторонняя оптимизация при заданных транзакционных расходах

4.4.4. Дифференциация собственного удержания .

4.4.5. Субоптимальное и оптимальное по Парето деление риска

4.4.6. Вывод

4.5. Вывод: деление риска как важная часть рисковой политики

ПРИЛОЖЕНИЕ. Типовые задачи квалификационного экзамена по математике рискового страхования в Немецком обществе актуариев

Предметный указатель

Обзор содержания

Часть I "Основы" начинается с обсуждения основных принципов страхования: коллективного баланса и рисковой надбавки - дискуссии вокруг обоих понятий не прекращаются по сегодняшний день, В разделе 1.2.2 дается определение коллективного баланса без привлечения понятия премии. В разделе 1.2.3 формула для расчета требуемой совокупной рисковой надбавки выводится из условия, что доходность от вложения гарантийного капитала должна превышать безрисковую ставку. Далее обосновывается корректность принципа ковариации для деления совокупной рисковой надбавки между отдельными полисами - этот подход в литературе по теории риска мне встретился только у К. Борха (К. Borcli), в то время как в теории финансов аналогичный способ (САРМ) очень популярен.

Затем рассматриваются индивидуальная и коллективная модели риска, постоянно используемые в дальнейшем. Как свидетельствует история, своим успехом математика рискового страхования обязана коллективной модели. Индивидуальная модель почти не играет роли в литературе по рисковому страхованию. Однако при работе над книгой я убедился, что многие привычные для практика алгоритмы расчета тарифов и резервов могут быть обоснованы в рамках специальной модификации индивидуальной модели, подробно описанной в главе 1.3. Она не учитывает явного вероятностного превосходства нулевого убытка и поэтому является только аппроксимацией модели, известной из страхования жизни. Но именно эта форма индивидуальной модели имеет наибольшее значение для рискового страхования, предоставляя, в частности, возможность использования обобщенных линейных моделей.

В разделе 1.3.7 потребовалось сконструировать непрерывную форму распределения Пуассона. Побудившие к этому причины изложены в разделе 1.3.6. Полученная модель подводит стохастический базис под метод маргинальных сумм (разделы 2.4.3 и 2.4.4) и метод цепной лестницы (раздел 3.3.2). Построение такого "модифицированного" распределения Пуассона позволило избежать привлечения теории квази-правдоподобия,

Изложение коллективной модели в главе 1.4 более или менее стандартно. Здесь приводятся реальные числовые примеры, подтверждающие практическую бесполезность распространенных в страховой литературе распределений числа и размера убытков, таких как распределение Пуассона, нормальное и экспоненциальное распределения, В разделе 1.43 с помощью детального анализа плотности распределения сделана попытка выделить круг потенциальных моделей распределения размера убытка; в разделе 1.43 кратко обсуждаются различные методы оценки параметров распределений; в разделе 1.4.4, посвященном распределению совокупного убытка, изложены метод дискретизации и доказательство рекурсивной формулы Пейнджера (Panjer).

Часть2 "Исчисление тарифов" начинается с обзора методов классификации рисков. Эта задача практически не рассматривается в литературе по страховой математике, так как считается стандартной задачей кластер-анализа. Тем не менее в страховании у нее есть особенности, на которые следует обратить внимание, Так, вероятностная природа убытков позволяет использовать статистические методы, в частности критерий равенства средних. Б разделе 2.2.2 демонстрируется возможность применения г-критерия после логарифмирования данных.

Задача выбора тарифных факторов из множества факторов риска (см. главу 2.3) решается в рамках многомерной статистики, поэтому нами обсуждается кратко и с упором на методы, не являющиеся чистой копией стандартных. Как и в главе 2.2, здесь удается обосновать методы с помощью индивидуальной модели, разработанной в главе 1.3.

В части 2 основное внимание уделено методам выравнивания (см. главу 2.4), значение которых со времен классических работ Бейли (Bailey) и Саймона (Simon) ничуть не уменьшилось. Тем более удивительно, что па практике и спустя 30 лет применяются в основном детерминированные методы (метод Бейли-Саймона, метод маргинальных сумм). После краткого представления детерминированных методов устанавливается их связь с индивидуальной моделью, введенной в главе 13, Это позволяет получить множество интересных сведений. Попытка подвести стохастическую базу под классические методы выравнивания как раз и привела меня к разработке представленной в главе 1.3 формы индивидуальной модели. Глава заканчивается описанием метода выравнивания с разделением числа и размеров убытков и переносом рассмотренных методов в класс обобщенных линейных моделей.

В последней главе части 2 кратко обсуждено применение теории доверительности. Эта тема широко освещена в литературе по страховой математике, поэтому здесь рассмотрена только байесовская Пуассон-гамма-модель с целью построения таблицы бонус-малус, а также не зависящие от вида распределения модели Бюльмана и Бюльмана-Штрауба (Buhlmann. Straub).

Часть 3 о Резервирование" относится преимущественно к видам страхования с долгим развитием убытка (главным образом, к страхованию гражданской ответственности). Тем не менее я счел нужным изложить эту тему в таком же объеме, как расчет тарифов и деление риска. Поводом для этого послужил известный факт, что в Северной Америке уже сейчас требуется актуарное обоснование резервов по страхованию гражданской ответственности. Рано или поздно то же произойдет и в Европе. До недавнего времени при расчете резерва убытков применялись только нестохастические методы. Появление коммерческого статистически ориентированного программного обеспечения (ICRFS) существенно повысило интерес к стохастическим методам.

Я старался привести вероятностное обоснование для важнейших и наиболее распространенных на практике методов. В этом мне снова помогли индивидуальные модели из главы 1,3. Но главное - мне удалось поставить на стохастическую основу популярный, но сильно критикуемый именитыми теоретиками метод цепной лестницы и тем доказать несостоятельность этой критики. Подробное обоснование метода цепной лестницы приводится в главе 3.2. Там же рассматривается и самый простой - аддитивный метод резервирования. В главе 3.3 представлены методы, основанные на индивидуальной модели, к числу которых принадлежит базовая модель упомянутого программного обеспечения, В главе 3,4 обсуждается возможность усовершенствования рассмотренных ранее методов. В разделе 3.4.5 изложен метод, использующий данные о развитии отдельных убытков. Этот метод изначально предусматривался для решения специальной проблемы, возникающей при тарификации договоров перестрахования эксцедента убытка,

Часть 4 "Деление риска" во многом стандартна. Поскольку пропорциональное деление риска с математической точки зрения не представляет проблем, внимание концентрируется на непропорциональном делении риска и его основных формах: вычитаемой франшизе и перестраховании эксцедента убытка. В главе 4.2 закладывается технический фундамент, на котором в главе 4.3 строится расчет премий. В главе 4.4 на примере перестрахования разбирается задача выбора формы и объема деления риска. Сначала в разделе 4.4.2 показывается, что за счет перестрахования высвобождается часть рисковой надбавки, достаточная для покрытия связанных с перестрахованием транзакционных расходов. Далее делается вывод о наличии принципиально неустранимых пробелов в информации о распределении убытков и издержках, что не позволяет в реальных условиях определить оптимальную форму перестрахования. Тем не менее рассматриваемые идеализированные ситуации дают хорошее представление о сути технических рисков и подводят теоретическую базу под многие используемые на практике формы деления риска.

Каждая часть и каждая глава начинаются с обзора содержания и постановки проблем и заканчиваются выводами с дополнительными замечаниями. В выводах также даются ссылки на соответствующие публикации. В список литературы включены только публикации, упоминаемые в тексте, а не вся литература, относящаяся к рассматриваемым темам. В частности, я сам, несомненно, извлек пользу из многих работ и книг, не указанных в перечне.